Alla hörn och kanter räknas

Från Pedagogiska magasinet 2011-09-19 14:12

Vi vet mycket om vad elever kan och inte kan i matematik. Men hur ska vi göra för att kunskaperna ska utvecklas? Analysera, kommunicera och värdera är en väg att gå.

Som lärare i matematik möttes jag av inställningen att det var lätt att undervisa och bedöma elevernas kunskaper i matematik. I matematik var det bara att följa läroboken, menade man. När det gällde bedömning var föreställningen att det bara var att summera antalet rätta provsvar som eleven presterade, så var bedömningen klar. Men många av oss som undervisat och undervisar i matematik har insett att matematik inte är lätt att undervisa i och att det inte heller är lätt att bedöma elevernas kunskaper i matematik.
Bedömning grundar sig på vår syn på ämnet, på kunskap och på lärandet. Hur ser vi då på skolämnet matematik?

Matematik som räkning och enkel geometri är mycket gammal eftersom människan hade ett behov av att kunna bestämma antal (djur, barn med mera) och mäta (längd, area, vinkel och tid). Skolmatematiken skulle vara nyttig och praktiskt användbar. Därför infördes räkning tidigt i folkskolan under namnet ”de fyra räknesätten i hela tal”. Senare infördes också geometri för pojkarna. De flesta kursplaner för grundskolan har betonat den praktiska färdigheten i räkning.

Läroplanen för grundskolan, Lpo94, lyfter fram det matematiska tänkandet eftersom varje elev efter genomgången grundskola ska ”behärska grundläggande matematiskt tänkande” och kunna ”tillämpa det i vardagslivet”. I den läroplan som gäller från och med hösten 2011, Lgr11, har det skett en förändring och där står att skolan ska ansvara för att varje elev efter grundskolan ”kan använda sig av matematiskt tänkande för vidare studier och i vardagslivet”.

Vår syn på kunskap och på ämnet kommer mycket tydligt fram i de prov som används. Standardproven under 1940 och 1950-talen talade sitt tydliga språk. Det är slående att eleverna skulle räkna många uppgifter på kort tid. Bengt-Olov Ljung har i Standardproven – 53 år i skolans tjänst gett flera exempel på uppgifter som användes under denna tid. Eleverna skulle i årskurs 4 genomföra ett additionsprov med 42 uppgifter på 6 minuter och ett divisionsprov med 24 uppgifter på 14 minuter. I bedömningen togs nästan bara hänsyn till om svaret var rätt eller fel. Det som betonades var den mekaniska räknefärdigheten och beräkningar i praktiska sammanhang. Sammanfattningsvis kan man karaktärisera budskapet till eleverna som ”räkna fort och rätt”. Den inställningen måste ses mot bakgrund av vad samhället då krävde. Det fanns inga räknetekniska hjälpmedel och när det gäller räknefärdigheten kunde man bara lita till den enskilda individens kompetens.

I de nationella proven som utvecklades för  Lpo94 betonas det matematiska tänkandet. Det finns liksom tidigare uppgifter där bara svar ska lämnas men huvuddelen av provtiden ägnar sig eleverna åt att lösa uppgifter där de ska motivera och redovisa sina lösningar. Eleverna får också betydligt längre tid på sig att lösa uppgifterna. Sammanfattningsvis kan man karaktärisera budskapet till eleverna som ”visa hur du resonerar när du löser en uppgift”.  Kraven på matematikkunskaper är mer omfattande och det präglar också de nationella proven. Att kunna matematik är så mycket mer än att kunna ett visst matematikinnehåll och att kunna utföra beräkningar. Det är också väsentligt att kunna kommunicera sin kunskap, att kunna presentera lösningar och att kunna använda relevanta strategier, modeller och metoder samt att kunna analysera, reflektera och kritiskt granska sina egna och andras lösningar.

Eftersom vi i Sverige har haft centralt utarbetade prov, som standardprov, centrala prov och nationella prov, under en lång tid, och att Sverige också deltagit i internationella studier som TIMSS och PISA, finns en ganska rik flora av forskning om elevernas kunskaper i matematik och om kunskapsutvecklingen i matematik. Det är också dessa resultat som fokuseras i debatten i media. Det är alltså bedömning av kunskap som får störst uppmärksamhet.

Men för att bedömning ska kunna vara ett kraftfullt verktyg för lärandet måste bedömning av kunskap också resultera i bedömning för lärande och undervisning och ses i ett sammanhang. Det sammanhanget kan illustreras med följande figur:

Kanten bedömning och kunskap illustrerar en summerande bedömning av kunskap och då behövs bara denna kant. Vid en sådan bedömning, exempelvis i PISA och TIMSS, finns inget intresse för hur eleven har lärt sig eller i vilka situationer som hon eller han lärt sig. Bara den kunskap som visats vid ett visst tillfälle uppmärksammas.

En bedömning av kunskap för lärande och undervisning tar hänsyn till alla hörn och kanter i figuren. Det är en bedömning som sker kontinuerligt och som ska utveckla och förbättra såväl lärande som undervisning. Utgångspunkten är ett urval av kunskapsinnehållet. Utifrån resultatet av bedömningen av elevens kunskaper påverkas såväl det fortsatta kunskapsinnehållet för undervisningen (lärtillfällena) och undervisningsmetoderna och den lärandes strategier samt också den bedömning som senare kommer att ske.

Forskning kring bedömning i matematik för lärande och undervisning är mycket sällsynt, särskilt i Sverige. Lisa Björklund Boistrup har i sin avhandling Assessment discourses in mathematics classroom. A multimodal socialsemiotic study, undersökt hur bedömning går till i några svenska matematikklassrum i årskurs 4. Hon konstaterar i artikeln Bedömning för engagemang och lärande att bedömning i samtal mellan lärare och elever dagligen sker i dessa matematikklassrum och menar att bedömning blir synlig för eleven genom lärarens återkoppling (feed back). Hon ser bedömning som starkt kopplad till elevens möjligheter att vara delaktig i undervisningen och i lärandet. John Hattie och Helen Timperley redogör i artikeln The power of feedback för vad en bedömning kan fokusera på. Ett fokus är eleven som person, exempelvis ”du är duktig i matematik”, ett annat är uppgiftsfokus, antalet uppgifter eleven löst rätt. Ett tredje fokus är processer, det vill säga hur eleven har löst uppgiften. Ett fjärde fokus är självreglering. Här handlar det om att eleven själv styr sitt lärande och ser till att få arbeta med uppgifter som svarar mot vad hon eller han behöver lära sig. Björklund Boistrup kommer fram till att olika bedömningsdiskurser verkar i matematikklassrummen och att de i ett och samma klassrum kan förekomma flera sådana diskurser.

En diskurs har hon benämnt ”gör det fort och gör det rätt”. Här sker återkopplingen från lärare till elev och de uppgifter som används är av karaktären att läraren redan vet svaret. Diskursen ”vad som helst duger” utmärks av att återkoppling sällan förekommer och gör den det är det ofta i form av lärarens beröm av eleven. Det kan innebära att elevens felaktiga strategier inte uppmärksammas.

I diskursen ”allt kan tas som utgångspunkt för en diskussion”  återkopplar läraren ofta till eleven, liksom eleven till läraren, och ofta är processen i fokus i diskussionerna. Diskursen ”resonemang tar tid” har gemensamma drag med den föregående, men innebär en fördjupning i diskussionerna vad gäller processer, kommunikation, argumentation. Även i denna diskurs förekommer återkoppling ofta och då både från lärare till elev och från elev till lärare.

Följande är ett exempel på konstruktiv återkoppling. I en uppgift skulle eleverna bestämma en oregelbunden fläcks omkrets och area. En elev skriver att man får omkretsen genom att mäta runt om och arean genom att ta bredden gånger höjden. En återkoppling som bygger på en analys av elevens visade kunskaper och missuppfattningar skulle kunna se ut så här: ”Du visar att du vet vad omkrets är, beskriv mer i detalj hur du kan mäta fläckens omkrets. Jag är mer osäker på om du vet vad area är. För vilka figurer brukar du använda dig av bredden gånger höjden?  Vad beräknar du då? Vad är bredden och höjden av fläcken? Hur tänkte du bestämma bredden och höjden av fläcken? Skulle du kunna bestämma arean utan att göra några beräkningar? Vad behöver du arbeta med när det gäller omkrets och area? Vad ska jag som lärare göra för att du ska lära dig mer om detta?” Den sortens återkoppling ger möjlighet för eleven att utveckla sitt kunnande och för läraren att utveckla sin undervisning.

All bedömning får konsekvenser och det på många olika nivåer, på nationell, kommunal, skol- klass- och individnivå. Resultat från bedömningar i internationella och nationella undersökningar kan få konsekvenser för styrdokument och resursfördelning. Det kan också få konsekvenser för den allmänna debatten om skolan och för allmänhetens syn på skolan och kunskapsnivån i landet. Därför är det viktigt att vara medveten om vad de olika utvärderingarna på internationell, nationell och kommunal nivå mäter och vad de inte mäter, annars finns risk för att exempelvis de politiska besluten på olika nivåer blir felaktiga.

Vad kan då bedömning innebära för den enskilda eleven? 

Bedömning av matematikkunskaper har traditionellt mest skett i form av skriftliga prov som genomförs individuellt av elever under en begränsad tid. Ofta har fokus varit det totala antalet rätt. Om bedömning bara förknippas med prov och betyg, får det en negativ klang för många. Bedömning kan upplevas som en dom, ett fördömande och som en återvändsgränd för vidare lärande.

Om bedömning däremot används konstruktivt, det vill säga att elevens kunnande analyseras och värderas så att eleven utvecklas i sitt lärande och känner tilltro till sin egen förmåga, kan den vara en kraftig utvecklings-potential för såväl lärande som undervisning även i matematik.


Astrid Pettersson
är professor i pedagogik med inriktning mot utvärdering och matematikämnets didaktik. Hon är bland annat medlem av Lärarförbundets vetenskapliga råd och föreståndare för Nationella forskarskolan i pedagogisk bedömning, samt vetenskaplig ledare för PRIM-gruppen.

 

Litteratur
Björklund Boistrup, L (2010): Assessment discourses in mathematics classroom. A multimodal socialsemiotic study. Stockholms universitet.

Björklund Boistrup, L (2011): Bedömning för engagemang och lärande. I B Bergius, G Emanuelsson, l Emanuelsson & R Ryding (red): Matematik — ett grundämne. Nämnaren Tema 8. NCM.

Hattie, J & Timperley, H (2007): The power of feedback. In Review of Educational Research. 77,1.

Ljung, B-O (2000): Standardproven  — 53 år i skolans tjänst. Rapport nr 17 från PRIM-gruppen. Lärarhögskolan i Stockholm.

Pettersson, A (2005): Bedömning — varför, vad och varthän? I L Lindström & V Lindberg (red): Pedagogisk bedömning. Om att dokumentera, bedöma och utveckla kunskap. HLS Förlag.

Pettersson, A, Olofsson, G, Kjellström, K, Ingemansson, I, Hallén, S, Björklund Boistrup, L & Alm, L (2010): Bedömning av kunskap — för lärande och undervisning i matematik. Matematikdidaktiska texter del 4. Stockholms universitet.

Skolverket (2006): Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet,  Lpo 94.

Skolverket (2008): TIMSS 2007. Svenska grundskole-elevers kunskaper i matematik och naturvetenskap i ett internationellt perspektiv. Skolverkets rapport 323.

Skolverket (2010): Rustad att möta framtiden? PISA 2009 om 15-åringars läsförståelse och kunskaper i matematik och naturvetenskap. Skolverkets rapport nr 352.

Skolverket (2011): Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet

Tambour, T & Pettersson, A (2011): Matematikens karaktär — med ett historiskt perspektiv.I G Brandell & A Pettersson (red): Matematikundervisning. Vetenskapliga perspektiv. Stockholms universitets förlag.

Bloggat om denna artikel Twingly

Skriv en kommentar

För att kommentera Lärarnas Nyheters artiklar kan du antingen logga in med ditt konto hos t ex Facebook eller Google (klicka på en av symbolerna här under) eller skapa en enkel inloggning där du anger namn och e-postadress. Klicka på Skapa nytt konto nedan, eller använd inloggningsformuläret om du redan har ett konto.
Annons

Fler nyheter